暗算の問題を出される

なにやら春めいてきた今日この頃、皆様いかがお過ごしでしょうか?今年は花見が早まりそうですね。

さて、ちょっと暗算の問題を出されてしまったので、今日はそれについて。一応、解答は得られたのですが、より綺麗な解法がないかなぁという事で、思い付いたら教えて頂けると幸いであります。



■問題

「10の二乗と11の二乗と12の二乗と13の二乗と14の二乗の総和を365で割った答えを暗算で計算して下さい。」

ちなみに、式にすると↓こうなります。なお、「^2」で二乗を表現しています。
(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/365=???



■雑談

で、まずは自分で考えてみたいという方に解法が見えてしまわないように、軽く雑談でも書いてみましょう。

確か小学校4年生頃だったと思うのですが、知り合いが中学受験を終えて、親が参考書を貰って来た事がありました。確か国語・算数・理科の参考書が1冊ずつ。

で、結論から言うと3冊あわせて10ページほど読んだだけで終わってしまったのですが(苦笑)、あの時に真面目に勉強していたら未来は変わっていたのかもしれません。まぁ、今となってはどうでも良いのでそれはさておき。

その参考書で唯一面白かったのは算数の計算の話で、「二乗の数を覚えておくと計算が楽になる」という事でした。数年前にブームになったインド数学などに通じる話ですが、実用性以前に数字の持つ印象の不思議さが好きだったので、とりあえず30までの二乗の数を暗記しました。

ただ、やはり単純暗記というのは面白くないもので。なかなか覚えられない数などもあって、そんな時にぼ~っと数字の羅列を見ていて発見した事が幾つかあります。

一つは、1,4,9,16,25・・・という並びを見ていて、その差が3,5,7,9・・・と奇数の並びになっていること。これは分かり易いので、周りの人に話しても褒められる事が多かったです。肝心の参考書は全然読んでないのに(苦笑)。

もう一つは三平方の定理が絡むのですが、ちょっと雑談のつもりが長くなったのでこの話は省略。また機会があれば書く事にします。で、解法。



■解法

分かり易いように、12=aとします。すると問題の式はこうなります。

分子=(a-2)^2+(a-1)^2+a^2+(a+1)^2+(a+2)^2
aの係数が打ち消しあって0になる事を見越しています。展開して行きます。

分子=(a^2-4a+4)+(a^2-2a+1)+a^2+(a^2+2a+1)+(a^2+4a+4)
  =5a^2+(-4-1+1+4)a+(4+1+1+4)
  =5a^2+10
  =5(a^2+2)

残念ながら、ここからは力技になります。a=12を代入して。

分子=5(12^2+2)
  =5(144+2)
  =5×146
  =5×73×2
  =365×2

故に答えは「2」です。



■まとめ

一応、何とか暗算でできる解法ではあるのですが、よりエレガントな解法があるのかないのか?自分の能力ではこれが限界なので、面白い解法を見付けた方がおられましたら、教えて頂けるととても嬉しいです。


以上、今日はこれにて。


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コメント

きのう、皆様いか

きのう、皆様いか暗記すればよかった?

No title

暗記は計算の基本ですので、皆さま以下、暗記に励まれるのがよろしいかと。。。
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